Deljivost s 7

Že v osnovni šoli so nas učili, kako ugotoviti ali je neko število deljivo z 2, 3, 4… 9, 10. Postopki so večinoma dokaj preprosti, edini težavnež je število 7. Obstajata vsaj dva načina, oba malce nenavadna, a matematično popolnoma dokazljiva.

Prvi način
Število zapišemo tako, da število enic pomnožimo s 5, rezultat pa prištejemo osnovnemu številu brez enic. Če je dobljeno število deljivo s 7, je tudi osnovno število deljivo s 7. Sliši se malce čudno, mar ne? Pa si oglejmo, kako je to voideti v praksi.

Primer:
Ugotoviti želimo ali je število 434 deljivo s 7. Najprej število enic »ločimo« od preostanka in dobimo 43 in 4. Ko število enic pomnožimo s 5 , dobimo 20, to prištejemo preostanku, torej številu 43 + 20 = 63. Ker je 63 deljivo s 7, je tudi osnovno število, torej 434, deljivo s 7.

Kaj pa če je število večje in iz rezultata ne moremo kar tako vedeti ali ej deljiv s 7? Potem pač postopek ponovim, dokler ne pridemo do ustrezno majhnega števila.

Primer:
Ugotoviti želimo ali je število 6468 deljivo s 7. Prej opisani postopek je, da število najprej »ločimo« na 646 in 8. Sledi množenje 8 · 5 = 40 in seštevanje 646 + 40 = 686. Ker za 686 ne vemo ali je deljivo s 7, postopek ponovimo na njem. 686 razdelimo na 68 in 6, 6 · 5= 30, 30 + 68 = 98. To je deljivo s 7, a mogoče vsi tega ne znajo tako izračunati, zato nadaljujemo še enkrat. 98 razdeljeno je 9 in 8, 8 · 5 = 40, 40 + 9 = 49, kar je deljivo s 7.

Drugi način
Ta je podoben prvemu, le da zdaj število enic množimo z 2, rezultat pa odštejemo od preostanka števila brez enic.

Primer:
Vzemimo spet število 434. Število enic je 4, torej 4 · 2 = 8, 43 – 8 = 35. Ker je 35 deljivo s 7 je tudi osnovno število deljivo s 7. In tudi tu je mogoče v primeru večjih števil postopek nadaljevati.

Pri obeh primerih velja, da če po seštevanju/odštevanju dobimo 0, je število prav tako deljivo s 7. Recimo primer 6468, rešen po drugem načinu. Po »ločitvi« dobimo 646 in 8, 8 · 2 = 16, 646 – 16 = 630, kar je deljivo s 7, saj je 630 = 7 · 90. Če bi zdaj skušali nadaljevati, se ne bi zgodilo nič, saj ne bi imeli kaj odšteti, ker je 0 · 2 = 0.

Kaj pa matematični dokaz?
Neko trimestno število lahko zapišemo kot 10x + y. Kako ugotoviti ali je vse skupaj deljivo s 7? Vzemimo prvo metodo.

Če je 10x + y deljiv s 7, mora biti tudi petkratnik tega števila deljiv s 7, mar ne? Pa pomnožimo vse skupaj s 5 in dobimo 50x + 5y. To število zdaj zapišemo tako, da 50x razdelimo na 49x + x in dobimo:
10x + y = 50x + 5y = (x + 5y) + 49x.

Sedaj si oglejmo zadnji izraz. Ker je 49x vedno deljivo s 7, saj je 49 deljivo s 7, nam preostane le še ugotavljanje ali je s 7 deljiv prvi izraz, torej x + 5y. In prav to počnemo v prvi metodi.

Na enak način je mogočpe dokazati delovanje tudi druge metode.▪