Skrajševalna praštevila

Med vikendom se pogosto pozabavamo s kakšnimi matematičnimi zanimivostmi. Tokrat gre za tako imenovana »skrajševalna praštevila«. To so praštevila, ki, če jim odvzemamo števke, še vedno stajajo praštevila. In zakaj bi bila takšna števila zanimniva? Pojavlja se nekaj navdezna nelogčnost. Števil je, kot vemo, neskončno (ne glede na to, koliko števk napišemo, lahko vedno dopišemo še kakšno), okoli 300 pred našim štetjem pa je grški matematik Evklid dokazal, da je tudi število praštevil neskončno. Po tej logiki bi tudi število skrajševalnih števil  moralo biti neskončno. A ni. Jih je končno število. Pa si oglejmo nekaj primerov.

Najprej se seveda moramo odločiti, kako bomo tem številom odvzemali števke – od leve, od desne, z obeh strani, naključno…

Vzemimo najprej najzanimivejši primer – odvzemanje od leve, torej za levo-skrajševalna praštevila. Zakaj je ta najbolj zanimiv? Boste videli. Kot primer takšnega števila vzemimo recimo praštevilo 947. Če mu odvzamemo levo števko, torej 9, nam ostane 47, kar je praštevilo. Če temu nato spet vzamemo levo števko, sedaj torej 4, dobimo 7, še vedno praštevilo. In kakšno je največje tovorstno praštevilo? Je izdeno veliko, saj ima kar 24 mest, glasi pa se 357.686.312.646.216.567.629.137. Večjih ni.

Kaj pa desno-skrajševalno, torej praštevilo, ki mu števke odvzemamo z desne? Tu do zadnjega člena v verigi pridemo precej hitreje, saj je največje desno-skrajševalno število »le« 73.939.133. Naslednja ideja bi bila recimo levo-desno skrajševalna števila, kjer bi števke odstranjevali izmenično. Tudi to je narejeno in ugotovljeno, da je največje takšno število 739.397.

Največji izziv bi seveda bil najti takšno praštevilo, ki bi ostalo praštevilo ne glede na to, katero števko mu odstranimo. To področje še ni raziskano. Se pa nekateri matematiki sedaj ukvarjajo z nenaključnim odstranjevanjem števk. Kaj to pomeni? Vzemimo število 415.673. Če temu recimo odstranimo 1, dobimo 45.673, kar je praštevilo. Če temu odstranimo 3, dobimo 4567, kar je še vedno praštevilo. Če sedaj temu odstranimo 5, dobimo 467, kar je praštevilo, nato 4, da ostane praštevilo 67, ki mu odstranimo 6 in dobimo 7 in zadevo uspešno zaključimo. Ali to velja za vse števke omenjenega števila? Ne. »Napako« lahko najdemo že v prvem odstranjevanju – če namesto 1 odstranimo 5, dobimo 41.673, kar je deljivo s 3 in zato seevda ni praštevilo.

Torej, če vas številke zabavajo – na področju skrajševalnih praštevil je še veliko dela.


Vir: Numberphile