Jožefov problem

Ime mu je bilo Jožef Flavij je bil pa je rimsko-judovski učenjak, zgodovinar in hagiograf (pisec svetniških življenjepisov). Rojen je bil leta 37 v Jeruzalemu, takrat delom rimske Judeje kot Yosef ben Matityahu. V prvi judovsko-rimski vojni se je boril kot vodja judovskih sil v Galileji, a se je po šesttedenskem obleganju mesta Jotapata leta 67 predal Vespazianovi vojski. Jožef je trdil, da je bilo v judovskih prerokbah, ki so napovedovale omenjeno judovsko-rimsko vojno zapisano, da bo Vespazian, takrat lokalni rimski vojskovodja, postal rimski cesar. Vespazianu se je to očitno zdelo zanimivo, zato je Jožefa obdržal kot sužnja in prevajalca. Ko je Vespazian dve leti kasneje, leta 69, dejansko postal cesar, je Jožefa osvobodil, ta pa je prevzel cesarjev družinski priimek Flavij.

In zakaj je Jožef tako zanimiv matematikom? O njem kroži zgodba, da je pred predajo ostal sam s 40 vojaki in vsi so vedeli, da bodo poraženi. Da ne bi padli v roke Rimljanom, so se odločili, da se postavijo v krog, nakar bo prvi vojak ubil tistega na svoji levi, naslednji živeči enako, postopek pa se bo nadaljeval tako dolgo, da bo ostal le še en, ki bo nato storil samomor. Vojaki so se strinjali, Jožef pa je menda raje videl, da ga ujamejo kot da umre. In zato je razmišljal, kam v krogu naj se postavi, da bo preživel. Ker je število 41 (40 vojakov in Jožef) fiksno, je rešitev seveda našel s preprostim eksperimentom, matematiki pa ne bi bili matematiki, če ne bi iz dogodka naredili matematičnega problema oziroma začeli iskati načina, kako izračunati »preživetveno mesto« ne glede na število vojakov.

In kaj so ugotovili? »Preživetveno mesto« se izračuna tako, da se v številu vojakov najde največja potenca števila 2, izračuna ostanek, ta podvoji in doda 1.

Matematićno bi to zapisali nekako takole:

Če je n= 2^a+l, kje je n število vojakov in l<2a,
Potem bo preživetvena številka W(n)= 2l+1

Vzemimo dva primera:

Število vojakov je 17:
Največja potenca števila 2 v 17 je 2⁴=16, ostane torej l=1. Če 1 podvojimo, in dodamo 1 (2l+1), dobimo rezultat 3. Da bomo preživeli, moram o torej stati na mestu številka 3.

Kaj pa Jožefovih 41:
Največja potenca števila 2 v 41 je 2⁵=32, ostane pa 9. Če 9 podvojimo, dobimo 18, in ko dodamo 1 je rezultat 19. Jožef se je torej moral postaviti na mesto številka 19.

In kako so prišli do tega? Razmišljanje je dokaj zanimivo, podrobneje pa je opisano v spodnjem posnetku YouTubovega kanala Numberphile, kjer boste videli, da je zadeva precej bolj preprosta, če uporabljamo dvojiški zapis.


Vir: Numberphile/YouTube