Hitro razstavljanje kvadratne enačbe

V srednji šoli ste se učili, da je tričlenik ali po domače kvadratno enačbo Ax² + Bx + C =  0, mogoče razstaviti na tri načine. Prvi, ki je uporaben le v primeru, ko je A=1 (pa še to ne vedno), se imenuje razcep po Vietovem pravilu in deluje tako, da poiščemo števili, katerih vsota je bila število b, produkt pa število c. V primeru x² - 4x - 12 = 0 sta ti dve števili -6 in 2, saj je -6 + 2 = -4 in -6 x 2 = -12 in razcepljena enačba se glasi (x + 6) ( x - 2) = 0. Drugi način razcepa oziroma iskanja ničel je uporaben v vseh primerih, ne glede na vrednost po tistem znanem obrazcu:

Obstaja še tretji, šele kratek čas znan način, o katerem smo pisali pred nekaj tedni, kjer kvadratno enačbo po potrebi najprej preoblikujemo tako, da je A=1 in potem izberemo »kuharski recept«, ki smo ga opisali v prispevku.

No, obstaja pa še en recept, ki je nekakšen »derivat« Vietovega pravila, deluje pa tudi v primeru, ko A≠1. Zadeva je precej hitra in preprosta, vsekakor hitrejša od metode »z diskriminanto«. Pa si oglejmo primer.

Vzemimo, da imamo kvadratno enačbo tipa Ax² + Bx + C =  0, ki se glasi:

Enačbe ne moremo kar tako rešiti po Vietovem pravilu, saj člen A≠1. Zato uporabimo trik. V prvem koraku množimo člen C s členom A, v našem primeru torej 6 in 12 in dobimo:

Zdaj uporabimo Vietovo pravilo in poiščemo dve števili, ki dajeta vsoto 17 in zmnožek 72. To sta seveda 8 in 9. Zapišemo razcepljeno obliko:

To seveda ni rešitev, saj je potrebno nekako »izničiti« vpliv tistega množenja členov A in C iz prvega koraka. To naredimo tako, da oba številčna dela, torej 8 in 9 (ne člena z x), delimo z A oziroma v našem primeru z 12, nato pa oba ulomka pokrajšamo, kolikor gre.

Zdaj sledi še zadnji korak, v katerem oba imenovalca »prenesemo« pred člen x in dobimo končno rešitev:

Seveda moramo vse skupaj še preveriti in če zdaj dobljene člene pomnožimo med seboj in enačbo poenostavimo vidimo, da je rešitev res prava:

▪