Lažje do rešitev kvadratne enačbe

Avtor: Uredništvo, Objavljeno: 22. 02. 2024 05:06:00, Kategorija: Trendi

Iskanje rešitev kvadratne enačbe se je po 4000 letih poenostavilo.

Lažje do rešitev kvadratne enačbe
Se spomnite kvadratnih funkcij in enačb iz srednje šole, kjer ste ničle oziroma presečišča funkcije z osjo x iskali v lažjih primerih po Viettovem pravilu, pri težjih pa po metodi z diskriminanto? Vas malce spomnimo?

Če imamo kvadratno enačbo v obliki x+ bx + c =  0, smo razcep po Viettovem pravilu iskali tako,da smo iskali števili, katerih vsota je bila število b, produkt pa število c. V primeru x- 4x - 12 = 0 sta ti dve števili -6 in 2, saj je -6 + 2 = -4 in -6 x 2 = -12 in razcepljena enačba se glasi (x + 6) ( x - 2) = 0.

Če je enačba malce bolj zoprna in ima tudi parameter a ali pa sta b in c vrednosti, kjer rešitve ne moremo kar »videti«, se pač uporablja tista znana formula, ki se je verjetno še spomnite:

Ko ste vanjo vstavili a, b in c ste dobili iskani dve rešitvi.

No, matematik Po-Shen Loh z ameriške univerze Carnegie Mellon, je leta 2019, torej kakih 4000 let po tem, ko so Babilonci »izumili« prejšnjo metodo, našel še eno, ki je dokaj preprosta, saj omogoča določanje rešitev le s pomočjo koeficientov b in c (če obstaja tudi a, pač celotno enačbo delimo z njim in dobimo nova b in c). Enačba se glasi:

Vidimo, da sta v njej le koeficienta B in C in da je malce manj zoprna od »originala«. Pa jo preverimo. Vzemimo kvadratno enačbo: 2x- 8x - 24 = 0 in jo poskusimo rešiti. Ker je v njej koeficient a, se ga najprej znebimo tako, da enačbo delimo z njim. Ostane nam x- 4x - 12 = 0, kar je enak primer kot prej pri Viettovem pravilu. Koeficienta B  in C sta torej -4 in -12. Če ju sedaj vstavimo v »novo« enačbo, lahko kaj hitro izračunamo obe rešitvi.

In kako je Po-Shen Loh prišel do te rešitve? Pravzaprav na dokaj preprost način. Celoten dokaz oziroma postopek si lahko ogledate na tej povezavi, na tem mestu pa le njegova »filozofija«. Pri Viettovem pravilu smo rekli, da iščemo dve števili (x1 in x2), katerih vsota bo koeficient B. Kaj pa povprečje teh dveh števil? To je seveda –B/2. In kje leži to povprečje? Po definiciji na sredini med vrednostma x1 in x2, od njiju pa je oddaljeno za nek z. To pomeni, da sta rešitvi enačbe tudi x= -B/2 + z in x= –B/2 - z. Po Viettovem pravilu pa velja, da mora biti produkt rešitev enak koeficientu C, torej moramo prejšnji dve rešitvi zmnožiti C = (-B/2 + z) ( -B/2 - z) = (-B/2)- z2. Od tu lahko z malo premetavanja izrazimo z in dobimo omenjeno novo formulo. In zakaj ravno povprečje? Kvadratna enačba, če jo narišemo v obliki funkcije, je parabola, rešitvi x1 in x pa pomenijo ničle te funkcije oziroma točke, kjer funkcije seka os X. Vsaka parabola pa ima tudi teme, katerega koordinata x je točno na srfedini med omenjenima ničlama. Naš z je torej oddaljenost x-koordinate temena od ničel.

Je takšno računanje res lažje? Vzemimo naš primer x- 4x - 12 = 0 Vidimo, da je –B/2 = -(-4)/2 = 2, sedaj moramo samo še izračunati z, kar je iz omenjenih številk dokaj preprosto in dobimo 4. To sedaj prištejemo in odštejemo od 2 in dobimo rešitivi. Res je lažje… In zadeva seveda deluje tudi pri dvojnih in kompleksnih ničlah...

Vir: MIT Technology Review

preberite še to

Trendi
Tudi implantat ni pomagal

Tudi implantat ni pomagal

Indijski študent si je dal v uho kirurško vstaviti slušalko Bluetooth, da bi lahko goljuf...

Trendi
Hitro kvadriranje

Hitro kvadriranje

Tako lahko na pamet in (dokaj) hitro kvadrirate dvomestna števila…

Trendi
Najdaljši vodni tobogan na svetu

Najdaljši vodni tobogan na svetu

Ni pretirano hiter, se pa zato po njem peljete dobre štiri minute…

Trendi
Zakaj pa to leti?

Zakaj pa to leti?

Ali lahko helikopter leti brez vrtenja elise? Tale očitno lahko. Ali pa tudi ne…

Trendi
Ne, hvala... Bom raje klasiko...

Ne, hvala... Bom raje klasiko...

Zakaj bi nekdo dovoli frizerju, da ga striže s - kotnim brusilnikom?

Trendi
Zakaj pa to ne gre?

Zakaj pa to ne gre?

Znano sestavljanko je mogoče rešiti na več načinov, le na enega ne…

Trendi
Dobrota je sirota

Dobrota je sirota

Kaj se zgodi, če si vrane napačno razlagajo reševanje njihovega mladička.

Trendi
Mladi in stare tehnologije

Mladi in stare tehnologije

Poglejte, kako sta dva najstnika poskušala odvrteti številko na starem telefonu.

Trendi
Življenje s Tourettom

Življenje s Tourettom

Iz prve roke o žalostnih in zabavnih posledicah zoprne motnje…

Trendi
To pa je vztrajnost

To pa je vztrajnost

Možak je kar 11 let sestavljal »progo« v Line Riderju…

Trendi
Zakaj žoga »felša«?

Zakaj žoga »felša«?

V nogometu, tenisu, odbojki in še kje se pogosto zgodi, da žoga ne leti ravno ampak med letom zavije. Z...

Trendi
Resetirani možgani

Resetirani možgani

Zaradi možganske poškodbe se je dekletu vsaki dve uri zbrisal spomin.