Ga znate rešiti?

Ameriška pisateljica Celeste Ng je z možem in sinom šla na večerjo v restavracijo. Da bi čakanje na hrano hitreje minilo, sta njunemu 9-letniku dala papir in voščenke. A mladenič je, namesto da bi risal, zapisal  »matematični problem« in starše pozval, da ga rešita. Izkazalo se je, da je sistem enačb dejansko rešljiv, rešitve so pozitivna cela števila, a vse skupaj ni prav preprosto.

Gre za sistem štirih enačb s štirimi neznankami, kar v primeru, ko bi bile enačbe linearne, ne bi bil problem. A ena od njih ni bila, kar je stvar zakompliciralo. Ga znate rešiti brez internetne pomoči? Namig – začnite pri drugi, kvadratni enačbi in imejte v mislih pozitivna cela števila.

Če ne bo šlo, si rešitev oglejte v nadaljevanju, najdete pa jo lahko tudi v spodnjem tvitu pisateljice. 

At dinner, 9yo made up a math problem and made his father and me solve it. Our attempt to do simultaneous equations got *really* complicated. We figured it out via guess and check, but I still think there has to be a more elegant way... 🤓👨‍👩‍👦 pic.twitter.com/MwHBnG9PBF

— Celeste Ng (@pronounced_ing) 18 February 2020

Rešitev:

Kako se zadeve lotiti? Lahko čisto matematično, po pravilu eliminacije spremenljivk, lahko pa tudi kar na pamet s sklepanjem.

1. Če seštejemo prvo in zadnjo ter drugo in tretjo enačbo, se znebimo spremenljivk e in f in dobimo sistem dveh enačb z dvema neznankama:

a + ac = 24
a² + c = 21

Sedaj iz druge enačbe izrazimo c in vstavimo v prvo enačbo, preuredimo in dobimo:

a³ - 22a +24 = 0

Če to kubično enačbo rešimo, dobimo:

(a - 4) (a² – 4a – 6) = 0

Ker kvadratna enačba v drugem oklepaju nima celoštevilčnih rešitev, kot je zahtevano, je vrednost spremenljivke a lahko le 4. In če sedaj a = 4 vstavimo v prejšnje enačbe dobimo, da je c = 5, f = 1 in e = 7

Kaj pa s sklepanjem?

2. Ključ sta druga, kvadratna enačba a² – f = 15 in tretja, f + c = 6. Ker morajo biti rešitve pozitivna cela števila, mora biti a² večji od 15, zaradi druge enačbe pa mora biti f manjši od 6. Edina možnost, da to velja je, a= 4. In potem nadaljujemo enako kot prej…

Vir: Twitter