Hitro kvadriranje

Kvadrat nekega števila seveda to število pomnoženo samo s seboj. Ker živimo v elektronski dobi, to seveda najpogosteje izračunamo z uporabo kalkulatorja. Lahko tudi na pamet, a ni ravno preprosto. Če ne poznate trika…

Trik številka 1:
Se spomnite, ko so vam pri matematiki razlagali kvadrat dvočlenika? Ne? Kaj pa enačbe:

(a+b)² = a² + 2ab + b²

Ta se vam je verjetno kar vtisnila v spomin, mar ne? No, tale kvadrat je uporaben na različne načine, med drugim tudi za kvadriranje števil. Pa si oglejmo primer.

Vzemimo, da moramo kvadrirati število 31. Gre za dvomestno število, kjer število desetic označimo z a, število enic pa z b. Za enačajem v enačbi 31² = zapišemo tri vodoravne črtice, ki bodo nekakšno vodilo, nato pa pričnemo računati. Nad prvo črto vpišemo kvadrat števila a, v našem primeru je to 9, saj je 3²=9, nad tretjo črtico vpišemo kvadrat števila b, kar je v našem primeru 1, saj je 1²=1, nad sredinsko črtico pa dvakratnik produkta a in b (2ab), kar v našem primeru znaša 2·3·1 = 6. In že lahko odčitamo rezultat, ki je 961.

Kaj pa, če je kvadrat drugega števila ali rezultat nad srednjo črtico več kot 10? V tem primeru se pač obnašamo enako kot pri seštevanju in »odvečno« število prištejemo številu levo od njega. Kako? Oglejmo si primer kvadriranja števila 43, kjer na »odvečno« število naletimo v sredinskem izrazu 2ab, ki znaša 2·4·3=24. Odveč je število 2, ki ga prištejemo številu 16 (a²) in dobimo 18.


Trik številka 2:
Drugi trik, ki ga bomo uporabili, se naslanja na še eno znano  matematično pravilo, ki se glasi:

(a+b) (a-b) = a²-b²

Enačbo bomo najprej malce premetali in dobili::

 a² = (a+b) (a-b) + b²

In kako nam ta lahko koristi? Opišimo jo z besedami. Če nekemu številu neko vrednost najprej prištejemo, nato odštejemo, nato obe med seboj zmnožimo, produktu pa prištejemo kvadrat prištete/odštet vrednosti, dobimo kvadrat osnovnega števila. Sliši se zapleteno, v praksi pa je stvar precej koristna.

Vzemimo primer na naslovni sliki in poskusimo kvadrirati število 23. Najprej se moramo odločiti, katero število bomo prišteli/odšteli. Držimo se pravila, da iščemo najbližje okroglo število, ki je pri 23 seveda 20. Torej smo odšteli 3. Sedaj moramo še prišteti 3 in dobimo 26. Po gornjem pravilu sedaj ti dve vrednosti zmnožimo, kar je dokaj preprosto: 20 x 26 = 520. Sedaj tej vrednosti prištejemo kvadrat prištetega/odštetega števila, kar znese 3² = 9, rezultat pa 529.

Kaj pa recimo 51². Najbliže okroglo število je 50, to pa pomeni, da smo odšteli in prišteli, zato moramo zmnožiti 50 in 52. Če rezultata ne morete izračunati »iz glave«, lahko uporabite še eno matematično pravilo: a x (b x c) = (a x b) x c. V našem primeru lahko zapišemo  50 x 52 = 50 x (2 x 26) = (50 x 2) x 26 = 100 x 26 = 2600. Sedaj, ko smo zmnožili 50 x 52, moramo prišteti kvadrat prištetega/odštetega števila, kar je 1 in dobimo 2601.

Na enak način lahko kvadriramo tudi trimestna in večmestna števila, kjer je postopek enak, le da pri trimestnih pri seštevanju/odštevanju »ciljamo« na najbližjo stotico, to pa pomeni, da bo treba kvadrirati tudi dvomestno število, kar pa že znamo.▪