In sedaj vprašanje: koliko in katere omarice bo ravnatelj zjutraj našel odklenjene?
Rešitev:
Ključ rešitve je seveda za vsako omarico ugotoviti, kateri dijaki jo bodo odklenili oziroma zaklenili. Vzemimo primer omarice številka 24. Prvi dijak jo bo odklenil, drugi zaklenil, tretji odklenil, četrti spet zaklenil, peti jo bo preskočil, saj 5 ni delitelj števila 24…. Iz tega lahko sklepamo, da bo omarica »spremenila status« iz zaklenjenega v odklenjenega in obratno le v primeru, ko bo zaporedna številka dijaka delitelj tega števila. Pri omarici številka 24 bodo to dijaki, ki bodo stali na mestih 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 in 24. To je torej prvi pogoj. Toda ali je zadosten? Ne.
Delitelji povedo le, kateri dijak bo omarici spremenil status iz zaklenjenega v odklenjenega in obratno, ne pove pa ali bo omarico zaklenil ali odklenil. Da bo omarica ostala odklenjena, mora biti teh deliteljev liho število, saj vsaka liha poteza pomeni odklepanje (prvi dijak, ki naleti na omarico, jo odklene, drugi zaklene, tretji spet odklene…). In kdaj se bo to zgodilo? Vzemimo spet število 24. Delitelje bi lahko združili v skupine po dva (1,24), (2, 12), (3, 8), (4, 6), vsak od njih pa kot zmnožek da število 24. Vendar je pri številu 24 teh števil sodo. Kdaj bo pa liho? Takrat, ko se bo eno od števil ponovilo. Recimo pri 16. Delitelji so 1, 2, 4, 8 in 16, pari pa (1, 16), (2, 8) in (4, 4), ki pa v bistvu ni par ampak eno samo število, to pa pomeni, da je deliteljev liho število. In kdaj se to ponovi? Vedno takrat, ko je število popoln kvadrat.
Rešitev uganke je torej: Ko bo ravnatelj prišel zjutraj v šoli, bo našel odklenjene omarice 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 in 100.
